Resolver {l}{5x-3y=11}{4x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=11$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+11.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+11}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=2).

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2$$

Egin 4 bider \frac{3y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta -y.

$$\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2$$

Egin ken \frac{44}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Ordeztu -\frac{34}{7} y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -\frac{34}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}$$

Gehitu \frac{11}{5} eta -\frac{102}{35} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

5x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

Sinplifikatu.

$$20x-12y=44,20x-5y=10$$

Egin 20x-5y=10 ken 20x-12y=44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x-12y+5y=44-10$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+5y=44-10$$

Gehitu -12y eta 5y.

$$-7y=44-10$$

Gehitu 44 eta -10.

$$-7y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Ordeztu -\frac{34}{7} y balioarekin 4x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2$$

Egin ken \frac{34}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-\frac{20}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$