Resolver {l}{5x+y=39}{3x+4y=54}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=39$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+39.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+39}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=54).

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

Egin 3 bider \frac{-y+39}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta 4y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

Egin ken \frac{117}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider 9.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

Gehitu \frac{39}{5} eta -\frac{9}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

Sinplifikatu.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

Egin 15x+20y=270 ken 15x+3y=117 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-20y=117-270$$

Gehitu 3y eta -20y.

$$-17y=117-270$$

Gehitu 117 eta -270.

$$-17y=-153$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 3x+4y=54 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\times 9=54$$

Egin 4 bider 9.

$$3x+36=54$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=9$$