Resolver {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=35$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Ordeztu -\frac{y}{5}+7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+1,1y=40).

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

Egin 7 bider -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

Gehitu -\frac{7y}{5} eta \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Egin ken 49 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Egin -\frac{1}{5} bider 30.

$$x=-6+7$$

Gehitu 7 eta -6.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1;y=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1;y=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

5x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

Sinplifikatu.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

Egin 35x+5,5y=200 ken 35x+7y=245 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

Gehitu 35x eta -35x. Sinplifikatu egiten dira 35x eta -35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y-5,5y=245-200$$

Gehitu 7y eta -\frac{11y}{2}.

$$1,5y=245-200$$

Gehitu 245 eta -200.

$$1,5y=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1,5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin 7x+1,1y=40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+1,1\times 30=40$$

Egin 1,1 bider 30.

$$7x+33=40$$

Egin ken 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1;y=30$$