Resolver {l}{5x+y=1}{3x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 1 } \\ { 3 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+1\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+1}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=-1).

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)+y=-1$$

Egin 3 bider \frac{-y+1}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{3}{5}+y=-1$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}=-1$$

Egin ken \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{5}y=-\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider -4.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta \frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{1}{5-3}\\-\frac{3}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-1\right)\\-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=1,3x+y=-1$$

Egin 3x+y=-1 ken 5x+y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-3x+y-y=1+1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-3x=1+1$$

Gehitu 5x eta -3x.

$$2x=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin 3x+y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3+y=-1$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$