Resolver {l}{5x+9y=40}{3x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+9y=40$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-9y+40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -9y+40.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

Ordeztu -\frac{9y}{5}+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+7y=3).

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

Egin 3 bider -\frac{9y}{5}+8.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

Gehitu -\frac{27y}{5} eta 7y.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{105}{8}$$

Ordeztu -\frac{105}{8} y balioarekin x=-\frac{9}{5}y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

Egin -\frac{9}{5} bider -\frac{105}{8}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

Gehitu 8 eta \frac{189}{8}.

$$x=\frac{253}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

Sinplifikatu.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

Egin 15x+35y=15 ken 15x+27y=120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-35y=120-15$$

Gehitu 27y eta -35y.

$$-8y=120-15$$

Gehitu 120 eta -15.

$$-8y=105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-\frac{105}{8}$$

Ordeztu -\frac{105}{8} y balioarekin 3x+7y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

Egin 7 bider -\frac{105}{8}.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

Gehitu \frac{735}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{759}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{253}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$