Resolver {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2x+4y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$1020=2060-2x-4y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2060-2x-4y=1020$$

Kendu 2060 bi aldeetatik.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 lortzeko, 1020 balioari kendu 2060.

$$-2x-4y=-1040$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+7y=2060$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-7y+2060$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

Ordeztu -\frac{7y}{5}+412 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-4y=-1040).

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

Egin -2 bider -\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Gehitu \frac{14y}{5} eta -4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Gehitu 824 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{6}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin x=-\frac{7}{5}y+412 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

Egin -\frac{7}{5} bider 180.

$$x=-252+412$$

Gehitu 412 eta -252.

$$x=160$$

Ebatzi da sistema.

$$x=160,y=180$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2x+4y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$1020=2060-2x-4y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2060-2x-4y=1020$$

Kendu 2060 bi aldeetatik.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 lortzeko, 1020 balioari kendu 2060.

$$-2x-4y=-1040$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=160,y=180$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2x+4y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$1020=2060-2x-4y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2060-2x-4y=1020$$

Kendu 2060 bi aldeetatik.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 lortzeko, 1020 balioari kendu 2060.

$$-2x-4y=-1040$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Sinplifikatu.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

Egin -10x-20y=-5200 ken -10x-14y=-4120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Gehitu -14y eta 20y.

$$6y=-4120+5200$$

Gehitu -4120 eta 5200.

$$6y=1080$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=180$$

Ordeztu 180 y balioarekin -2x-4y=-1040 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

Egin -4 bider 180.

$$-2x-720=-1040$$

Gehitu 720 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-320$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=160$$

Ebatzi da sistema.

$$x=160,y=180$$