Resolver {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+5y=15$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-5y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -5y+15.

$$x=-y+3$$

Ordeztu -y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+10y=-2).

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Egin 4 bider -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Gehitu -4y eta 10y.

$$6y+12=-2$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Ordeztu -\frac{7}{3} y balioarekin x=-y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Egin -1 bider -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Gehitu 3 eta \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

5x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Egin 20x+50y=-10 ken 20x+20y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-50y=60+10$$

Gehitu 20y eta -50y.

$$-30y=60+10$$

Gehitu 60 eta 10.

$$-30y=70$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Ordeztu -\frac{7}{3} y balioarekin 4x+10y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Egin 10 bider -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Gehitu \frac{70}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{16}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$