Resolver {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+4y=-3$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-4y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{-4y-3}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+3y=-2).

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

Egin 6 bider \frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

Gehitu -\frac{24y}{5} eta 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Gehitu \frac{18}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Ordeztu -\frac{8}{9} y balioarekin x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Egin -\frac{4}{5} bider -\frac{8}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{32}{45} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Egin 30x+15y=-10 ken 30x+24y=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

Gehitu 30x eta -30x. Sinplifikatu egiten dira 30x eta -30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y-15y=-18+10$$

Gehitu 24y eta -15y.

$$9y=-18+10$$

Gehitu -18 eta 10.

$$9y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Ordeztu -\frac{8}{9} y balioarekin 6x+3y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

Egin 3 bider -\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$