Resolver {l}{5x+3y=23}{x+y=P}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 23 } \\ { x + y = P } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{23-3P}{2}$$

$$y=\frac{5P-23}{2}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=23,x+y=P$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=23$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+23\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+23.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{23}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+23}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=P).

$$-\frac{3}{5}y+\frac{23}{5}+y=P$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{23}{5}=P$$

Egin ken \frac{23}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{5}y=P-\frac{23}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5P-23}{2}$$

Ordeztu \frac{5P-23}{2} y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{23}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{5P-23}{2}+\frac{23}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider \frac{5P-23}{2}.

$$x=-\frac{3P}{2}+\frac{69}{10}+\frac{23}{5}$$

Gehitu \frac{23}{5} eta -\frac{3P}{2}+\frac{69}{10}.

$$x=\frac{23-3P}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23-3P}{2},y=\frac{5P-23}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=23,x+y=P$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\P\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 23-\frac{3}{2}P\\-\frac{1}{2}\times 23+\frac{5}{2}P\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23-3P}{2}\\\frac{5P-23}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{23-3P}{2},y=\frac{5P-23}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=23,x+y=P$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+3y=23,5x+5y=5P$$

Egin 5x+5y=5P ken 5x+3y=23 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+3y-5y=23-5P$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-5y=23-5P$$

Gehitu 3y eta -5y.

$$-2y=23-5P$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{5P-23}{2}$$

Ordeztu \frac{-23+5P}{2} y balioarekin x+y=P ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{5P-23}{2}=P$$

Egin ken \frac{-23+5P}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{23-3P}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{23-3P}{2},y=\frac{5P-23}{2}$$