Resolver {l}{5x+2y=-9}{3x-4y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 9 } \\ { 3 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=-9$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-9\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y-9.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y-9}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=-8).

$$3\left(-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)-4y=-8$$

Egin 3 bider \frac{-2y-9}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}-4y=-8$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta -4y.

$$-\frac{26}{5}y-\frac{27}{5}=-8$$

Gehitu \frac{27}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{26}{5}y=-\frac{13}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{26}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}-\frac{9}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider \frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-1-9}{5}$$

Gehitu -\frac{9}{5} eta -\frac{1}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-4\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-4\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{26}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-8\right)\\\frac{3}{26}\left(-9\right)-\frac{5}{26}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\left(-9\right),5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$15x+6y=-27,15x-20y=-40$$

Egin 15x-20y=-40 ken 15x+6y=-27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+6y+20y=-27+40$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+20y=-27+40$$

Gehitu 6y eta 20y.

$$26y=-27+40$$

Gehitu -27 eta 40.

$$26y=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin 3x-4y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-4\times \frac{1}{2}=-8$$

Egin -4 bider \frac{1}{2}.

$$3x-2=-8$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$