Resolver {l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=-6$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y-6.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y-6}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+5y=8).

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

Egin 2 bider \frac{-2y-6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

Gehitu -\frac{4y}{5} eta 5y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

Gehitu \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{21}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{52}{21}$$

Ordeztu \frac{52}{21} y balioarekin x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider \frac{52}{21}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

Gehitu -\frac{6}{5} eta -\frac{104}{105} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Sinplifikatu.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

Egin 10x+25y=40 ken 10x+4y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-25y=-12-40$$

Gehitu 4y eta -25y.

$$-21y=-12-40$$

Gehitu -12 eta -40.

$$-21y=-52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -21 balioarekin.

$$y=\frac{52}{21}$$

Ordeztu \frac{52}{21} y balioarekin 2x+5y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

Egin 5 bider \frac{52}{21}.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

Egin ken \frac{260}{21} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$