Resolver {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-5y=2).

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

Egin 2 bider \frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta -5y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

Egin ken \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{27}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Ordeztu -\frac{2}{9} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider -\frac{2}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta \frac{2}{45} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{4}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

Sinplifikatu.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

Egin 10x-25y=10 ken 10x+2y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+25y=4-10$$

Gehitu 2y eta 25y.

$$27y=4-10$$

Gehitu 4 eta -10.

$$27y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 27 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Ordeztu -\frac{2}{9} y balioarekin 2x-5y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

Egin -5 bider -\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

Egin ken \frac{10}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{8}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{4}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$