Resolver {l}{5(x+y)-3(x-y)=2}{2(x+y)-4(x-y)=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \\ { 2 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+y biderkatzeko.

$$5x+5y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$5x+5y-3x+3y=2$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+5y+3y=2$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$2x+8y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-4\left(x-y\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-4x+4y=6$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+2y+4y=6$$

6y lortzeko, konbinatu 2y eta 4y.

$$-2x+6y=6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+8y=2,-2x+6y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+8y=2$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-8y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -8y+2.

$$x=-4y+1$$

Ordeztu -4y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+6y=6).

$$-2\left(-4y+1\right)+6y=6$$

Egin -2 bider -4y+1.

$$8y-2+6y=6$$

Gehitu 8y eta 6y.

$$14y-2=6$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$14y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=\frac{4}{7}$$

Ordeztu \frac{4}{7} y balioarekin x=-4y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times \frac{4}{7}+1$$

Egin -4 bider \frac{4}{7}.

$$x=-\frac{16}{7}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{16}{7}.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+y biderkatzeko.

$$5x+5y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$5x+5y-3x+3y=2$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+5y+3y=2$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$2x+8y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-4\left(x-y\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-4x+4y=6$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+2y+4y=6$$

6y lortzeko, konbinatu 2y eta 4y.

$$-2x+6y=6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+8y=2,-2x+6y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-8\left(-2\right)}&-\frac{8}{2\times 6-8\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 6-8\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 6-8\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 2-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{14}\times 2+\frac{1}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+y biderkatzeko.

$$5x+5y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$5x+5y-3x+3y=2$$

2x lortzeko, konbinatu 5x eta -3x.

$$2x+5y+3y=2$$

8y lortzeko, konbinatu 5y eta 3y.

$$2x+8y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-4\left(x-y\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-4x+4y=6$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+2y+4y=6$$

6y lortzeko, konbinatu 2y eta 4y.

$$-2x+6y=6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+8y=2,-2x+6y=6$$

2x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2x-2\times 8y=-2\times 2,2\left(-2\right)x+2\times 6y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$-4x-16y=-4,-4x+12y=12$$

Egin -4x+12y=12 ken -4x-16y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x-16y-12y=-4-12$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-16y-12y=-4-12$$

Gehitu -16y eta -12y.

$$-28y=-4-12$$

Gehitu -4 eta -12.

$$-28y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -28 balioarekin.

$$y=\frac{4}{7}$$

Ordeztu \frac{4}{7} y balioarekin -2x+6y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+6\times \frac{4}{7}=6$$

Egin 6 bider \frac{4}{7}.

$$-2x+\frac{24}{7}=6$$

Egin ken \frac{24}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=\frac{18}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}$$