Resolver {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3k+b=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-4k+b=-9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3k+b=5$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3k=-b+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-b+5}{3} balioa k balioarekin beste ekuazioan (-4k+b=-9).

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

Egin -4 bider \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

Gehitu \frac{4b}{3} eta b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

Gehitu \frac{20}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-1$$

Ordeztu -1 b balioarekin k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=2$$

Ebatzi da sistema.

$$k=2,b=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3k+b=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-4k+b=-9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=2,b=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3k+b=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-4k+b=-9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Egin -4k+b=-9 ken 3k+b=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3k+4k=5+9$$

Gehitu 3k eta 4k.

$$7k=5+9$$

Gehitu 5 eta 9.

$$7k=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$k=2$$

Ordeztu 2 k balioarekin -4k+b=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4\times 2+b=-9$$

Egin -4 bider 2.

$$-8+b=-9$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$k=2,b=-1$$