Resolver {l}{42+35+x+y+32+50=228}{-42-35-x+y+32+50=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 42 + 35 + x + y + 32 + 50 = 228 } \\ { - 42 - 35 - x + y + 32 + 50 = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=28$$

$$y=41$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y+159=228,-x+y+5=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y+159=228$$

Egin ken 159 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x+y=69$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+69$$

Ordeztu -y+69 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+y+5=18).

$$-\left(-y+69\right)+y+5=18$$

Egin -1 bider -y+69.

$$y-69+y+5=18$$

Gehitu y eta y.

$$2y-69+5=18$$

Gehitu -69 eta 5.

$$2y-64=18$$

Gehitu 64 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=82$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=41$$

Ordeztu 41 y balioarekin x=-y+69 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-41+69$$

Gehitu 69 eta -41.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=41$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y+159=228,-x+y+5=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 69-\frac{1}{2}\times 13\\\frac{1}{2}\times 69+\frac{1}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\41\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=28,y=41$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y+159=228,-x+y+5=18$$

Egin -x+y+5=18 ken x+y+159=228 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+x+y-y+159-5=228-18$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+x+159-5=228-18$$

Gehitu x eta x.

$$2x+159-5=228-18$$

Gehitu 159 eta -5.

$$2x+154=228-18$$

Gehitu 228 eta -18.

$$2x+154=210$$

Egin ken 154 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=28$$

Ordeztu 28 x balioarekin -x+y+5=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-28+y+5=18$$

Gehitu -28 eta 5.

$$y-23=18$$

Gehitu 23 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=41$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=41$$