Resolver {l}{41x-19y=158}{49x-15y=158}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 41 x - 19 y = 158 } \\ { 49 x - 15 y = 158 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$41x-19y=158,49x-15y=158$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$41x-19y=158$$

Gehitu 19y ekuazioaren bi aldeetan.

$$41x=19y+158$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 41 balioarekin.

$$x=\frac{1}{41}\left(19y+158\right)$$

Egin \frac{1}{41} bider 19y+158.

$$x=\frac{19}{41}y+\frac{158}{41}$$

Ordeztu \frac{19y+158}{41} balioa x balioarekin beste ekuazioan (49x-15y=158).

$$49\left(\frac{19}{41}y+\frac{158}{41}\right)-15y=158$$

Egin 49 bider \frac{19y+158}{41}.

$$\frac{931}{41}y+\frac{7742}{41}-15y=158$$

Gehitu \frac{931y}{41} eta -15y.

$$\frac{316}{41}y+\frac{7742}{41}=158$$

Egin ken \frac{7742}{41} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{316}{41}y=-\frac{1264}{41}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{316}{41} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{19}{41}y+\frac{158}{41} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{19}{41}\left(-4\right)+\frac{158}{41}$$

Egin \frac{19}{41} bider -4.

$$x=\frac{-76+158}{41}$$

Gehitu \frac{158}{41} eta -\frac{76}{41} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$41x-19y=158,49x-15y=158$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&-19\\49&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{41\left(-15\right)-\left(-19\times 49\right)}&-\frac{-19}{41\left(-15\right)-\left(-19\times 49\right)}\\-\frac{49}{41\left(-15\right)-\left(-19\times 49\right)}&\frac{41}{41\left(-15\right)-\left(-19\times 49\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{316}&\frac{19}{316}\\-\frac{49}{316}&\frac{41}{316}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}158\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{316}\times 158+\frac{19}{316}\times 158\\-\frac{49}{316}\times 158+\frac{41}{316}\times 158\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$41x-19y=158,49x-15y=158$$

41x eta 49x berdintzeko, biderkatu 49 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 41 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$49\times 41x+49\left(-19\right)y=49\times 158,41\times 49x+41\left(-15\right)y=41\times 158$$

Sinplifikatu.

$$2009x-931y=7742,2009x-615y=6478$$

Egin 2009x-615y=6478 ken 2009x-931y=7742 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2009x-2009x-931y+615y=7742-6478$$

Gehitu 2009x eta -2009x. Sinplifikatu egiten dira 2009x eta -2009x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-931y+615y=7742-6478$$

Gehitu -931y eta 615y.

$$-316y=7742-6478$$

Gehitu 7742 eta -6478.

$$-316y=1264$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -316 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 49x-15y=158 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$49x-15\left(-4\right)=158$$

Egin -15 bider -4.

$$49x+60=158$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$49x=98$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 49 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$