Resolver {l}{4x-y=10}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-y=10$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{y}{4}+\frac{5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=8).

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

Egin 3 bider \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta 2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{11}$$

Ordeztu \frac{2}{11} y balioarekin x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{4} bider \frac{2}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{1}{22} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{28}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

Sinplifikatu.

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

Egin 12x+8y=32 ken 12x-3y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-8y=30-32$$

Gehitu -3y eta -8y.

$$-11y=30-32$$

Gehitu 30 eta -32.

$$-11y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=\frac{2}{11}$$

Ordeztu \frac{2}{11} y balioarekin 3x+2y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

Egin 2 bider \frac{2}{11}.

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

Egin ken \frac{4}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{84}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{28}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$