Resolver {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-5y=9$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=5y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{5y+9}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x-4y=15).

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

Egin 7 bider \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

Gehitu \frac{35y}{4} eta -4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

Egin ken \frac{63}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Ordeztu -\frac{3}{19} y balioarekin x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

Egin \frac{5}{4} bider -\frac{3}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta -\frac{15}{76} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{39}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

4x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Sinplifikatu.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

Egin 28x-16y=60 ken 28x-35y=63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-35y+16y=63-60$$

Gehitu -35y eta 16y.

$$-19y=63-60$$

Gehitu 63 eta -60.

$$-19y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Ordeztu -\frac{3}{19} y balioarekin 7x-4y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

Egin -4 bider -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

Egin ken \frac{12}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=\frac{273}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{39}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$