Resolver {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-5y=7$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=5y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 5y+7.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{5y+7}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=1).

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

Egin 2 bider \frac{5y+7}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

Gehitu \frac{5y}{2} eta 3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Ordeztu -\frac{5}{11} y balioarekin x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

Egin \frac{5}{4} bider -\frac{5}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

Gehitu \frac{7}{4} eta -\frac{25}{44} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{13}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

Sinplifikatu.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

Egin 8x+12y=4 ken 8x-10y=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-12y=14-4$$

Gehitu -10y eta -12y.

$$-22y=14-4$$

Gehitu 14 eta -4.

$$-22y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Ordeztu -\frac{5}{11} y balioarekin 2x+3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

Egin 3 bider -\frac{5}{11}.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

Gehitu \frac{15}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{26}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{13}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$