Resolver {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$x+y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-3y=21$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y+21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

Ordeztu \frac{21+3y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=0).

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

Egin ken \frac{21}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

Egin \frac{3}{4} bider -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

Gehitu \frac{21}{4} eta -\frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$x+y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$x+y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

Egin 4x+4y=0 ken 4x-3y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-4y=21$$

Gehitu -3y eta -4y.

$$-7y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x+y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-3$$