Resolver {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y=8$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Ordeztu \frac{y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=2).

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

Egin 2 bider \frac{y}{2}+2.

$$y+4+y=2$$

Gehitu y eta y.

$$2y+4=2$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Egin \frac{1}{2} bider -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

Sinplifikatu.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

Egin 8x+4y=8 ken 8x-4y=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-4y=16-8$$

Gehitu -4y eta -4y.

$$-8y=16-8$$

Gehitu 16 eta -8.

$$-8y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 2x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-1=2$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$