Resolver {l}{4x+y=9}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y+9.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{-y+9}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=7).

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

Egin 2 bider \frac{-y+9}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

Egin -\frac{1}{4} bider 5.

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta -\frac{5}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Egin 2x+y=7 ken 4x+y=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-2x+y-y=9-7$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-2x=9-7$$

Gehitu 4x eta -2x.

$$2x=9-7$$

Gehitu 9 eta -7.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin 2x+y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2+y=7$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=5$$