Resolver {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=71$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+71$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+71.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y+71}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+5y=120).

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

Egin 7 bider \frac{-3y+71}{4}.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

Gehitu -\frac{21y}{4} eta 5y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

Egin ken \frac{497}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=17$$

Ordeztu 17 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider 17.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

Gehitu \frac{71}{4} eta -\frac{51}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=17$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=17$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

Sinplifikatu.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

Egin 28x+20y=480 ken 28x+21y=497 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y-20y=497-480$$

Gehitu 21y eta -20y.

$$y=497-480$$

Gehitu 497 eta -480.

$$y=17$$

Ordeztu 17 y balioarekin 7x+5y=120 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+5\times 17=120$$

Egin 5 bider 17.

$$7x+85=120$$

Egin ken 85 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=17$$