Resolver {l}{4x+3y=6}{2x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+6.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=8).

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)-y=8$$

Egin 2 bider -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+3-y=8$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -y.

$$-\frac{5}{2}y+3=8$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -2.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6+\frac{3}{10}\times 8\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 6,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 8$$

Sinplifikatu.

$$8x+6y=12,8x-4y=32$$

Egin 8x-4y=32 ken 8x+6y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+6y+4y=12-32$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+4y=12-32$$

Gehitu 6y eta 4y.

$$10y=12-32$$

Gehitu 12 eta -32.

$$10y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 2x-y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-\left(-2\right)=8$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$