Resolver {l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=-7$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y-7.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y-7}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-5y=2).

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

Egin 3 bider \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

Gehitu -\frac{9y}{4} eta -5y.

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

Gehitu \frac{21}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{29}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -1.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

Gehitu -\frac{7}{4} eta \frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

Sinplifikatu.

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

Egin 12x-20y=8 ken 12x+9y=-21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y+20y=-21-8$$

Gehitu 9y eta 20y.

$$29y=-21-8$$

Gehitu -21 eta -8.

$$29y=-29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 29 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 3x-5y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

Egin -5 bider -1.

$$3x+5=2$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-1$$