Resolver {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=25,2$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y+25,2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y+25,2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+5y=32).

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Egin ken \frac{63}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{257}{45}$$

Ordeztu \frac{257}{45} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{257}{45}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Gehitu \frac{63}{10} eta -\frac{257}{90} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{31}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Sinplifikatu.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Egin 4x+20y=128 ken 4x+2y=25,2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-20y=25,2-128$$

Gehitu 2y eta -20y.

$$-18y=25,2-128$$

Gehitu 25,2 eta -128.

$$-18y=-102,8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=\frac{257}{45}$$

Ordeztu \frac{257}{45} y balioarekin x+5y=32 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Egin 5 bider \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Egin ken \frac{257}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{31}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$