Resolver {l}{4x+2y=-2}{2x+3y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 2 } \\ { 2 x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=-2$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-y-1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=-7).

$$2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=-7$$

Egin 2 bider \frac{-y-1}{2}.

$$-y-1+3y=-7$$

Gehitu -y eta 3y.

$$2y-1=-7$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -3.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}&\frac{4}{4\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2\times 2y=2\left(-2\right),4\times 2x+4\times 3y=4\left(-7\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x+4y=-4,8x+12y=-28$$

Egin 8x+12y=-28 ken 8x+4y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+4y-12y=-4+28$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-12y=-4+28$$

Gehitu 4y eta -12y.

$$-8y=-4+28$$

Gehitu -4 eta 28.

$$-8y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 2x+3y=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-3\right)=-7$$

Egin 3 bider -3.

$$2x-9=-7$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-3$$