Resolver {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4m+9n=-35$$

Egin ken 9n ekuazioaren bi aldeetan.

$$4m=-9n-35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Ordeztu \frac{-9n-35}{4} balioa m balioarekin beste ekuazioan (3m-8n=18).

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Egin 3 bider \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Gehitu -\frac{27n}{4} eta -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Gehitu \frac{105}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{59}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=-3$$

Ordeztu -3 n balioarekin m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Egin -\frac{9}{4} bider -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Gehitu -\frac{35}{4} eta \frac{27}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-2,n=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=-2,n=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m eta 3m berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Sinplifikatu.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Egin 12m-32n=72 ken 12m+27n=-105 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Gehitu 12m eta -12m. Sinplifikatu egiten dira 12m eta -12m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27n+32n=-105-72$$

Gehitu 27n eta 32n.

$$59n=-105-72$$

Gehitu -105 eta -72.

$$59n=-177$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 59 balioarekin.

$$n=-3$$

Ordeztu -3 n balioarekin 3m-8n=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Egin -8 bider -3.

$$3m+24=18$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3m=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$m=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-2,n=-3$$