Resolver {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+4y+3y=10$$

7y lortzeko, konbinatu 4y eta 3y.

$$x+7y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y+3y=2$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+7y=10$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-7y+10$$

Ordeztu -7y+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+5y=2).

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Egin -1 bider -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Gehitu 7y eta 5y.

$$12y-10=2$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-7y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-7+10$$

Gehitu 10 eta -7.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+4y+3y=10$$

7y lortzeko, konbinatu 4y eta 3y.

$$x+7y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y+3y=2$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x+4y+3y=10$$

7y lortzeko, konbinatu 4y eta 3y.

$$x+7y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y+3y=2$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Egin -x+5y=2 ken -x-7y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7y-5y=-10-2$$

Gehitu -7y eta -5y.

$$-12y=-10-2$$

Gehitu -10 eta -2.

$$-12y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin -x+5y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+5=2$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$