Resolver {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y biderkatzeko.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+x biderkatzeko.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y lortzeko, konbinatu -4y eta -14y.

$$8x-18y-7x=-36$$

x lortzeko, konbinatu 8x eta -7x.

$$x-18y=-36$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2 biderkatzeko.

$$-2x-4-7y=-18$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 lortzeko, gehitu -18 eta 4.

$$-2x-7y=-14$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-18y=-36$$

Gehitu 18y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=18y-36$$

Ordeztu -36+18y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-7y=-14).

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Egin -2 bider -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Gehitu -36y eta -7y.

$$-43y+72=-14$$

Egin ken 72 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-43y=-86$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -43 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=18y-36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=18\times 2-36$$

Egin 18 bider 2.

$$x=36-36$$

Gehitu -36 eta 36.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y biderkatzeko.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+x biderkatzeko.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y lortzeko, konbinatu -4y eta -14y.

$$8x-18y-7x=-36$$

x lortzeko, konbinatu 8x eta -7x.

$$x-18y=-36$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2 biderkatzeko.

$$-2x-4-7y=-18$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 lortzeko, gehitu -18 eta 4.

$$-2x-7y=-14$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y biderkatzeko.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+x biderkatzeko.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y lortzeko, konbinatu -4y eta -14y.

$$8x-18y-7x=-36$$

x lortzeko, konbinatu 8x eta -7x.

$$x-18y=-36$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2 biderkatzeko.

$$-2x-4-7y=-18$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 lortzeko, gehitu -18 eta 4.

$$-2x-7y=-14$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Sinplifikatu.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Egin -2x-7y=-14 ken -2x+36y=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+7y=72+14$$

Gehitu 36y eta 7y.

$$43y=72+14$$

Gehitu 72 eta 14.

$$43y=86$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 43 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -2x-7y=-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Egin -7 bider 2.

$$-2x-14=-14$$

Gehitu 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=2$$