Resolver {l}{4*4k+b=0}{3*6k+b=0.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 \cdot 4 k + b = 0 } \\ { 3 \cdot 6 k + b = 0.2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=0.1$$

$$b=-1.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$16k+b=0$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$16k=-b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$k=\frac{1}{16}\left(-1\right)b$$

Egin \frac{1}{16} bider -b.

$$k=-\frac{1}{16}b$$

Ordeztu -\frac{b}{16} balioa k balioarekin beste ekuazioan (18k+b=0.2).

$$18\left(-\frac{1}{16}\right)b+b=0.2$$

Egin 18 bider -\frac{b}{16}.

$$-\frac{9}{8}b+b=0.2$$

Gehitu -\frac{9b}{8} eta b.

$$-\frac{1}{8}b=0.2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$b=-\frac{8}{5}$$

Ordeztu -\frac{8}{5} b balioarekin k=-\frac{1}{16}b ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{16}\left(-\frac{8}{5}\right)$$

Egin -\frac{1}{16} bider -\frac{8}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-18}&-\frac{1}{16-18}\\-\frac{18}{16-18}&\frac{16}{16-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 0.2\\-8\times 0.2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\\-1.6\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=\frac{1}{10},b=-1.6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

Egin 18k+b=0.2 ken 16k+b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16k-18k+b-b=-0.2$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16k-18k=-0.2$$

Gehitu 16k eta -18k.

$$-2k=-0.2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ordeztu \frac{1}{10} k balioarekin 18k+b=0.2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$18\times \frac{1}{10}+b=0.2$$

Egin 18 bider \frac{1}{10}.

$$\frac{9}{5}+b=0.2$$

Egin ken \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=-\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$