Resolver {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$361x+463y=-102$$

Egin ken 463y ekuazioaren bi aldeetan.

$$361x=-463y-102$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 361 balioarekin.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Egin \frac{1}{361} bider -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Ordeztu \frac{-463y-102}{361} balioa x balioarekin beste ekuazioan (463x+361y=102).

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Egin 463 bider \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Gehitu -\frac{214369y}{361} eta 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Gehitu \frac{47226}{361} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{84048}{361} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Egin -\frac{463}{361} bider -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Gehitu -\frac{102}{361} eta \frac{463}{361} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x eta 463x berdintzeko, biderkatu 463 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 361 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Sinplifikatu.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Egin 167143x+130321y=36822 ken 167143x+214369y=-47226 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Gehitu 167143x eta -167143x. Sinplifikatu egiten dira 167143x eta -167143x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Gehitu 214369y eta -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Gehitu -47226 eta -36822.

$$84048y=-84048$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 84048 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 463x+361y=102 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Egin 361 bider -1.

$$463x-361=102$$

Gehitu 361 ekuazioaren bi aldeetan.

$$463x=463$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 463 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$