Resolver {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$30x+15y=675$$

Egin ken 15y ekuazioaren bi aldeetan.

$$30x=-15y+675$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Egin \frac{1}{30} bider -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+45}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (42x+20y=940).

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Egin 42 bider \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Gehitu -21y eta 20y.

$$-y+945=940$$

Egin ken 945 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Gehitu \frac{45}{2} eta -\frac{5}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=20,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=20,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x eta 42x berdintzeko, biderkatu 42 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 30 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Sinplifikatu.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Egin 1260x+600y=28200 ken 1260x+630y=28350 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Gehitu 1260x eta -1260x. Sinplifikatu egiten dira 1260x eta -1260x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$630y-600y=28350-28200$$

Gehitu 630y eta -600y.

$$30y=28350-28200$$

Gehitu 28350 eta -28200.

$$30y=150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 42x+20y=940 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$42x+20\times 5=940$$

Egin 20 bider 5.

$$42x+100=940$$

Egin ken 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$42x=840$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 42 balioarekin.

$$x=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=20,y=5$$