Resolver {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3y-7x=-9$$

Gehitu 7x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=7x-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Ordeztu \frac{7x}{3}-3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+5x=23).

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Egin 2 bider \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Gehitu \frac{14x}{3} eta 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin y=\frac{7}{3}x-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Egin \frac{7}{3} bider 3.

$$y=7-3$$

Gehitu -3 eta 7.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=4,x=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Sinplifikatu.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Egin 6y+15x=69 ken 6y-14x=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14x-15x=-18-69$$

Gehitu -14x eta -15x.

$$-29x=-18-69$$

Gehitu -18 eta -69.

$$-29x=-87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -29 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin 2y+5x=23 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+5\times 3=23$$

Egin 5 bider 3.

$$2y+15=23$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=3$$