Resolver {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-4x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3y-4x=8$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=4x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{8+4x}{3} balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y-8x=7).

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Egin 2 bider \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Gehitu \frac{8x}{3} eta -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Egin ken \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{16}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Ordeztu -\frac{5}{16} x balioarekin y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Egin \frac{4}{3} bider -\frac{5}{16}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta -\frac{5}{12} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{9}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-4x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-4x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Egin 6y-24x=21 ken 6y-8x=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8x+24x=16-21$$

Gehitu -8x eta 24x.

$$16x=16-21$$

Gehitu 16 eta -21.

$$16x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Ordeztu -\frac{5}{16} x balioarekin 2y-8x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Egin -8 bider -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{9}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$