Resolver {l}{3x-y=6}{5x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 5 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=6$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Ordeztu \frac{y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+y=10).

$$5\left(\frac{1}{3}y+2\right)+y=10$$

Egin 5 bider \frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y+10+y=10$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta y.

$$\frac{8}{3}y+10=10$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{3}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 6,3\times 5x+3y=3\times 10$$

Sinplifikatu.

$$15x-5y=30,15x+3y=30$$

Egin 15x+3y=30 ken 15x-5y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-5y-3y=30-30$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y-3y=30-30$$

Gehitu -5y eta -3y.

$$-8y=30-30$$

Gehitu 30 eta -30.

$$-8y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 5x+y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=0$$