Resolver {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=6$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Ordeztu \frac{y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+\frac{1}{3}y=8).

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Egin 2 bider \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta \frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Egin \frac{1}{3} bider 4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Sinplifikatu.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Egin 6x+y=24 ken 6x-2y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-y=12-24$$

Gehitu -2y eta -y.

$$-3y=12-24$$

Gehitu 12 eta -24.

$$-3y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 2x+\frac{1}{3}y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Egin \frac{1}{3} bider 4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$