Resolver {l}{3x-y=4}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+4.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{4+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=1).

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}-y=1$$

Gehitu \frac{y}{3} eta -y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider \frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta \frac{1}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=4,x-y=1$$

Egin x-y=1 ken 3x-y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-x-y+y=4-1$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-x=4-1$$

Gehitu 3x eta -x.

$$2x=4-1$$

Gehitu 4 eta -1.

$$2x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} x balioarekin x-y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{3}{2}-y=1$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$