Resolver {l}{3x-y=4}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=4,x+y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+4.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{4+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=1).

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}+y=1$$

Gehitu \frac{y}{3} eta y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{4}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{4}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Ordeztu -\frac{1}{4} y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{4}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider -\frac{1}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{12}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -\frac{1}{12} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=4,x+y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=4,x+y=1$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-y=4,3x+3y=3$$

Egin 3x+3y=3 ken 3x-y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-y-3y=4-3$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-3y=4-3$$

Gehitu -y eta -3y.

$$-4y=4-3$$

Gehitu 4 eta -3.

$$-4y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Ordeztu -\frac{1}{4} y balioarekin x+y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{1}{4}=1$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$