Resolver {l}{3x-y=11}{5x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=11$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+11.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{11+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+3y=9).

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3y=9$$

Egin 5 bider \frac{11+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{55}{3}+3y=9$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta 3y.

$$\frac{14}{3}y+\frac{55}{3}=9$$

Egin ken \frac{55}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{14}{3}y=-\frac{28}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{14}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider -2.

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta -\frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{5}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 11,3\times 5x+3\times 3y=3\times 9$$

Sinplifikatu.

$$15x-5y=55,15x+9y=27$$

Egin 15x+9y=27 ken 15x-5y=55 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-5y-9y=55-27$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y-9y=55-27$$

Gehitu -5y eta -9y.

$$-14y=55-27$$

Gehitu 55 eta -27.

$$-14y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 5x+3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+3\left(-2\right)=9$$

Egin 3 bider -2.

$$5x-6=9$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$