Resolver {l}{3x-5y=11}{x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 11 } \\ { x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=11$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+11\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y+11.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{5y+11}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=13).

$$\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}+3y=13$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta 3y.

$$\frac{14}{3}y+\frac{11}{3}=13$$

Egin ken \frac{11}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{14}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider 2.

$$x=\frac{10+11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta \frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{5}{14}\times 13\\-\frac{1}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-5y=11,3x+3\times 3y=3\times 13$$

Sinplifikatu.

$$3x-5y=11,3x+9y=39$$

Egin 3x+9y=39 ken 3x-5y=11 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-5y-9y=11-39$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y-9y=11-39$$

Gehitu -5y eta -9y.

$$-14y=11-39$$

Gehitu 11 eta -39.

$$-14y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x+3y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\times 2=13$$

Egin 3 bider 2.

$$x+6=13$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=2$$