Resolver {l}{3x-2y=8}{5x+8y=60}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{92}{17} = 5\frac{7}{17} \approx 5.411764706$$

$$y = \frac{70}{17} = 4\frac{2}{17} \approx 4.117647059$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=8$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 8+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{8+2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+8y=60).

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+8y=60$$

Egin 5 bider \frac{8+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}+8y=60$$

Gehitu \frac{10y}{3} eta 8y.

$$\frac{34}{3}y+\frac{40}{3}=60$$

Egin ken \frac{40}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{34}{3}y=\frac{140}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{34}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{70}{17}$$

Ordeztu \frac{70}{17} y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{70}{17}+\frac{8}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{70}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{140}{51}+\frac{8}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{140}{51} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{92}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 8+\frac{1}{17}\times 60\\-\frac{5}{34}\times 8+\frac{3}{34}\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{92}{17}\\\frac{70}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 8,3\times 5x+3\times 8y=3\times 60$$

Sinplifikatu.

$$15x-10y=40,15x+24y=180$$

Egin 15x+24y=180 ken 15x-10y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-10y-24y=40-180$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-24y=40-180$$

Gehitu -10y eta -24y.

$$-34y=40-180$$

Gehitu 40 eta -180.

$$-34y=-140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -34 balioarekin.

$$y=\frac{70}{17}$$

Ordeztu \frac{70}{17} y balioarekin 5x+8y=60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+8\times \frac{70}{17}=60$$

Egin 8 bider \frac{70}{17}.

$$5x+\frac{560}{17}=60$$

Egin ken \frac{560}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{460}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{92}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$