Resolver {l}{3x-2y=7}{x+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 7 } \\ { x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=7$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+7.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+7}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=-5).

$$\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-5$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta 3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{7}{3}=-5$$

Egin ken \frac{7}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider -2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{2}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-2y=7,3x+3\times 3y=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x-2y=7,3x+9y=-15$$

Egin 3x+9y=-15 ken 3x-2y=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-2y-9y=7+15$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-9y=7+15$$

Gehitu -2y eta -9y.

$$-11y=7+15$$

Gehitu 7 eta 15.

$$-11y=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x+3y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\left(-2\right)=-5$$

Egin 3 bider -2.

$$x-6=-5$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$