Resolver {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=5$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+4y=-9).

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

Egin -3 bider \frac{2y+5}{3}.

$$-2y-5+4y=-9$$

Gehitu -2y eta 4y.

$$2y-5=-9$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider -2.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

Egin -9x+12y=-27 ken -9x+6y=-15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

Gehitu -9x eta 9x. Sinplifikatu egiten dira -9x eta 9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-12y=-15+27$$

Gehitu 6y eta -12y.

$$-6y=-15+27$$

Gehitu -15 eta 27.

$$-6y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -3x+4y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

Egin 4 bider -2.

$$-3x-8=-9$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$