Resolver {l}{3x-2y=1}{x+y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { x + y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=1$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=12).

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}+y=12$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=12$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 7.

$$x=\frac{14+1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{14}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 12\\-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-2y=1,3x+3y=3\times 12$$

Sinplifikatu.

$$3x-2y=1,3x+3y=36$$

Egin 3x+3y=36 ken 3x-2y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-2y-3y=1-36$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-3y=1-36$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y=1-36$$

Gehitu 1 eta -36.

$$-5y=-35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x+y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+7=12$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$