Resolver {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=-3$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=2).

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

Egin 2 bider \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{16}{3}y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{16}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{3}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4} y balioarekin x=\frac{2}{3}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{3}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

Sinplifikatu.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

Egin 6x+12y=6 ken 6x-4y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-12y=-6-6$$

Gehitu -4y eta -12y.

$$-16y=-6-6$$

Gehitu -6 eta -6.

$$-16y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=\frac{3}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4} y balioarekin 2x+4y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

Egin 4 bider \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$