Resolver {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=-10$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{-10+2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-11y=-9).

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

Egin 5 bider \frac{-10+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

Gehitu \frac{10y}{3} eta -11y.

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

Gehitu \frac{50}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{23}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider -1.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Gehitu -\frac{10}{3} eta -\frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

Egin 15x-33y=-27 ken 15x-10y=-50 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+33y=-50+27$$

Gehitu -10y eta 33y.

$$23y=-50+27$$

Gehitu -50 eta 27.

$$23y=-23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 5x-11y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

Egin -11 bider -1.

$$5x+11=-9$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-1$$