Resolver {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3x+4y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+4y=0$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-4y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Egin \frac{1}{3} bider -4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Ordeztu -\frac{4y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-6y=38).

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Egin 5 bider -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Gehitu -\frac{20y}{3} eta -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{38}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Egin -\frac{4}{3} bider -3.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3x+4y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3x+4y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Sinplifikatu.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Egin 15x-18y=114 ken 15x+20y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y+18y=-114$$

Gehitu 20y eta 18y.

$$38y=-114$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 38 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 5x-6y=38 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Egin -6 bider -3.

$$5x+18=38$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$