Resolver {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=11$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+11}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x-y=11).

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

Egin -4 bider \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Gehitu \frac{44}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=77$$

Ordeztu 77 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta -\frac{77}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-22$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-22,y=77$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-22,y=77$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Egin -12x-3y=33 ken -12x-4y=-44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+3y=-44-33$$

Gehitu -4y eta 3y.

$$-y=-44-33$$

Gehitu -44 eta -33.

$$-y=-77$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=77$$

Ordeztu 77 y balioarekin -4x-y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x-77=11$$

Gehitu 77 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=88$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-22$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-22,y=77$$