Resolver {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+6y=24$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-6y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -6y+24.

$$x=-2y+8$$

Ordeztu -2y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+5y=68).

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Egin 9 bider -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Gehitu -18y eta 5y.

$$-13y+72=68$$

Egin ken 72 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-13y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=\frac{4}{13}$$

Ordeztu \frac{4}{13} y balioarekin x=-2y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Egin -2 bider \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Gehitu 8 eta -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Sinplifikatu.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Egin 27x+15y=204 ken 27x+54y=216 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$54y-15y=216-204$$

Gehitu 54y eta -15y.

$$39y=216-204$$

Gehitu 216 eta -204.

$$39y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 39 balioarekin.

$$y=\frac{4}{13}$$

Ordeztu \frac{4}{13} y balioarekin 9x+5y=68 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Egin 5 bider \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Egin ken \frac{20}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{96}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$